23/01/2019

Números primos de Mersenne, visando o infinito

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

Há uns 20 anos, eu trabalhava no Impa quando percebi o computador lento. Rodei um diagnóstico e encontrei o processo de outro usuário. O título, “mersenne”, esclareceu quase tudo: eu já sabia que estava em curso um esforço internacional para encontrar um novo número primo de Mersenne.

Essa tarefa costumava ser confiada a supercomputadores, mas os promotores da iniciativa a tinham transformado em um mutirão: pedaços do cálculo eram rodados em milhares de computadores em volta do mundo. Entre eles o meu, como eu acabava de descobrir.

O colega responsável desculpou-se, disse que não achava que fosse me atrapalhar e parou o cálculo na hora. Mas não resistiu a perguntar: “O que você tem para fazer no computador que seja mais interessante do que encontrar um primo com um milhão de dígitos?”

Marin Mersenne (1588 – 1648) foi um monge erudito francês com invulgar diversidade de interesses científicos. Foi descrito como “o centro do mundo da ciência e da matemática na primeira metade do século 17”. Hoje em dia é lembrado, sobretudo, pelos números de Mersenne, aqueles que têm a forma 2ⁿ–1 para algum inteiro n.

Não é difícil mostrar que 2ⁿ–1 só pode ser primo de n for primo, mas a recíproca é falsa: 11 é primo e, no entanto, 2¹¹–1=2047 não é (isto já fora observado por Hudalricus Regius em 1536). Não sabemos se existe um número infinito de primos de Mersenne, e muitas outras perguntas permanecem sem solução.

Por outro lado, há métodos muito mais eficazes para testar a primalidade de 2ⁿ–1 do que para outros números. Por essa razão, de longa data o recorde de maior primo conhecido é detido por um primo de Mersenne.

Esse recorde acaba de ser quebrado, com a descoberta do 51º primo de Mersenne, que corresponde a n=82.589.933 e tem 24.862.048 dígitos! Mais uma vez foi resultado de um esforço coletivo, chamado Grande Busca por Primos de Mersenne na Internet (GIMPS, na sigla em inglês). O passo decisivo foi alcançado em 7 de dezembro por Patrick Laroche, profissional de TI que trabalha na Flórida, USA.

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