Introdução aos sistemas de partículas em contato com reservatórios

O objetivo deste minicurso e apresentar de maneira simples sistemas de partículas interagentes em contata com reservatórios. Modelos que têm despertado o interesse da comunidade científica recentemente, veja por exemplo [1, 2, 3, 5, 6], pois modelam transferência de massa entre reservatórios com diferentes densidades. Alguns desses modelos também despertam interesse pela sua parte teórica, devido a sua não-trivialidade, por exemplo: pelo fate de a medida invariante ser dada através de matrizes de Ansatz, veja [4].
Os pre-requisites (processos de Poisson e Cadeias de Markov) serão apresentados no início do curso para facilitar a compreensão de que os sistemas de partículas, que serão estudados neste minicurso, são Cadeias de Markov com tempo contínuo e, portanto, são objetos matemáticos bastante conhecidos e possuem completa caracterização através de seu gerador infinitesimal. A partir disso, focaremos em entender a relação entre o gerador infinitesimal e a dinâmica do processo. Para melhorar esta compreensão será, também, apresentada a construção gráfica destes modelos. A saber, os modelos que estudaremos são:

1. Processo de exclusão com taxa lenta na fronteira;

2. Modelo em meios porosos em cantata com reservatórios;

3. Processo Zero-Range com fronteira lenta.

Depois de termos compreendido as dinâmicas destes modelos, estudaremos as medidas invariantes deles. Para definir estas medidas para os modelos 1 e 2 são necessárias matrizes de Ansatz, veja [4], então faremos uma breve apresentação de tal teoria. A seguir, partiremos para alguns tipos de perguntas relevantes para estes modelos, veja por exemplo [1, 5, 6]. Primeiramente, analisaremos o comportamento assintótico da densidade espacial de partículas quando o sistema inicia da medida invariante, isso é chamado de limite hidrostático. Quando o sistema não inicia da medida invariante, o chamado limite hidrodinâmico, esta densidade assintótica de partículas satisfaz uma equação parabólica com condições de fronteira, que em alguns casos são não triviais. E isto é outro aspecto teórico interessante, pois algumas das equações com estas condições de fronteira ainda não tinham sido estudadas, aparecendo assim problemas em aberto em outras áreas. E dependendo do tempo e interesse da turma poderá ser apresentado o que é o estudo das flutuações e dos grandes desvios para tais modelos.

Conteúdo:

• Breve revisão de processos de Poisson;

• Introdução às cadeias de Markov com tempo contínuo;

• Processo de exclusão com taxa lenta na fronteira;

• Modelo em meios porosos em contato com reservatórios;

• Processo Zero-Range com fronteira lenta;

• Medidas invariantes;

• Limite hidrostático e outros resultados já conhecidos para os modelos apresentados.

Referências:
[1] Baldasso, R., Menezes, O., Neumann, A., Souza, R. R.: Exclusion Process with Slow Boundary, Journal of Statistical Physics, Volume 167, Issue 5, 1112–1142, (2017).
[2] Bernardin, C., Gonçalves, P., Jiménez-Oviedo, B.: Slow to fast infinitely extended reser- voirs for the symmetric exclusion process with long jumps, arXiv:1702.07216, (2017).
[3] De Masi, A., Presutti, E., Tsagkarogiannis, D., Vares, M.E.: Current Reservoirs in the Sim- ple Exclusion Process, Journal of Statistical Physics, pages 1151-1170, v.144 (2011).
[4] Derrida, B.: Non-equilibrium steady states: fluctuations and large deviations of the density and of the current, Journal of Statistical Mechanics Theory and Experiment (2007).
[5] Franco, T., Gonçalves, P. and Neumann, A.: Non-equilibrium and stationary fluctuations of a slowed boundary symmetric exclusion, to appear in Stochastic Processes and their Applications, (2018).
[6] Landim, C., Milanes, A., Olla, S.: Stationary and nonequilibrium fluctuations in boundary driven exclusion processes, Markov Process. Related Fields, Volume 14, no. 2, 165–184 (2008).